PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Indah Putri Lestari (17)

XI IPS 2

Matematika

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Garis Singgung

Sebuah garis disebut sebagai garis singgung kurva jika garis tersebut hanya memiliki satu titik persekutuan (titik singgung) dengan kurva. Karena garis singgung hanya memiliki satu titik persekutuan dengan kurva, maka untuk mendapatkan nilai kemiringannya dapat kita dekati dengan garis lain (garis secan) yang gradiennya dapat ditentukan secara langsung. 

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah

Garis Normal

Setelah memahami garis singgung dan gradien garis singgung, belum lengkap jika Anda belum mengetahui tentang garis normal. Karena pada setiap garis singgung suatu kurva, terdapat garis normal yang tegak lurus dengan garis singgung tersebut. 

Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x1,y1)

Contoh Soal

1. Gradien garis singgung y = x2- 8x + 12 kurva di titik (1, 5) sama dengan….

Pembahasan

 

2. Gradien garis singgung y = x2 - 6x + 8 kurva di titik berabsis - 3 adalah….

Pembahasan

Absis adalah nama keren dari koordinat x , dan ordinat panggilan untuk koordinat sumbu y.

 

3. Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...

Pembahasan 

x = 2 y = x4 - 7x2 + 20  y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)

Persamaan Garis singgung

m = y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

  y - y1 = m(x - x1)

y - 8 = 4(x - 2)

y - 8 = 4x - 8

y = 4x  Persamaan garis singgung

Persamaan garis normal

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal 

Garis normal bergardien  melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah

4.  Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x³ - 4x² di titik berabsis 2

     Pembahasan

Absis itu adalah sumbu-x, jadi x =2:
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x³ - 4x²
y = 2(2)³ − 4(2)²
y = 16 - 16
y = 0
Jadi titik singgung : (2, 0)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x³ - 4x²
f '(x) = 6x² - 8x
m = f '(2) = 6(2)² − 8(2)
m = 24 - 16
m = 8

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 0 = 8(x − 2)
y = 8x - 16

5.Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = 3 + 2x - x² sejajar dengan garis 4x + y = 3

Pembahasan

Langkah 1 : Cari nilai m₁
y = 3 + 2x - x²
m₁ = f'(x) = -2x + 2
m₁ = -2x + 2

Langkah 2 : Cari nilai m₂
4x + y = 3
y = -4x + 3
m₂ = -4 (Inga !! Jika y = ax + b ⇒ m = a )

Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis saling sejajar maka berlaku :
m₁ = m₂
-2x + 2 = -4
-2x = -6
x = 3
Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 3
y = 3 + 2x - x²
y = 3 + 2(3) - 3²
y = 3 + 6 - 9
y = 0

Sekarang kita telah memiliki titik singgung (3,0)

Langkah 4: Persamaan garis singgung
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 0 = -4(x - 3)

y = -4x + 12 

6. Carilah gradien garis singgung kurva f(x) = 5x² – 8x + 4 di titik(2, 8) ?

Pembahasan

Titik singgung dititik (2, 8), maka x₁ = 2
Dengan demikian, gradien garis adalah : m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12

7. Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = x² + 2x di titik (1,3)

    Pembahasan

f(x) = x2 + 2x
f'(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
m = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu3.html

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu4.html

https://bfl-definisi.blogspot.com/2018/10/soal-persamaan-garis-singgung-kurva.html