PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

Indah Putri Lestari (17) 

XI IPS 2

Matematika

PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

Definisi Turunan

Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).

Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai

turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x.

Penerapan Turunan

Berikut merupakan beberapa penerapan turunan.

• Turunan dapat diterapkan untuk menghitung gradien dari garis singgung suatu kurva.
• Turunan dapat digunakan untuk menentukan interval dimana suatu fungsi naik atau turun.
• Turunan dapat diterapkan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
• Turunan dapat diterapkan dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaaan gerak.
• Turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan maksimum-minimum.

Berikut ini akan dijelaskan mengena rumus turunan.

Rumus Turunan

Berikut merupakan beberapa rumus dasar untuk menentukan turunan.

• f(x) = c, dengan c merupakan konstanta

Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = 0.

• f(x) = x

Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = 1.

• f(x) = axn

Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = anxn – 1

• Penjumlahan fungsi:  h(x) = f(x) + g(x)

Turunan fungsi tersebut yaitu h’(x) = f’(x) + g’(x).

• Pengurangan fungsi: h(x) = f(x) – g(x)

Turunan fungsi tersebut adalah h’(x) = f’(x) – g’(x)

• Perkalian konstanta dengan suatu fungsi (kf)(x).

Turunan fungsi tersebut adalah k . f’(x).

Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan fungsi.

Turunan Fungsi

Misalkan terdapat suatu fungsi f(x) = axn. Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = anxn – 1.

Contohnya yaitu:

f(x) = 3x3

turunan dari fungsi tersebut yaitu

f’(x) = 3 (3) x3 – 1 = 9 x2.

Contoh lainnya misalnya g(x) = -5y-3.

Turunan dari fungsi tersebut adalah g’(y) = -5 (-3) y-3 – 1  = 15y-4.

Berikut akan dijelaskan turunan fungsi aljabar.

Turunan Fungsi Aljabar

Pembahasan turunan fungsi aljabar pada bagian ini meliputi turunan dalam bentuk perkalian dan turunan dalam pembagian fungsi aljabar.

Turunan fungsi aljabar dalam bentuk perkalian yaitu sebagai berikut.

Turunan dari fungsi tersebut yaitu h’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x).

Keterangan:

• h(x) : fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.
• h’(x) : turunan fungsi bentuk perkalian
• u(x), v(x) : fungsi dengan variabel x
• u’(x), v’(x) : turunan fungsi dengan variabel x

Turunan fungsi aljabar dalam bentuk pembagian yaitu:

Misalkan terdapat perkalian fungsi: h(x) = u(x)/v(x). Turunan dari fungsi tersebut adalah

h’(x) = (u’(x) . v(x) – u(x) . v’(x))/v2(x).

Keterangan:

• h(x) : fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.
• h’(x) : turunan fungsi bentuk perkalian
• u(x), v(x) : fungsi dengan variabel x
• u’(x), v’(x) : turunan fungsi dengan variabel x

Baca juga Aljabar.

Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan akar.

Turunan Akar

Misalkan terdapat suatu fungsi akar sebagai berikut

Untuk menentukan turunan dari fungsi tersebut, terlebih dahulu kita ubah ke dalam bentuk fungsi perpangkatan. Bentuk fungsi perpangkatannya yaitu f(x) = xa/b.

Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = a/b . x(a/b) – 1.

Bagaimana jika fungsi berbentuk seperti ini?

Untuk menentukan turunan fungsi di atas, terlebih dahulu diubah ke bentuk perpangkatan.

f(x) = g(x)z/b

Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = a/b . g(x)(a/b) – 1 . g’(x).

Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan parsial.

Turunan Parsial

Apa itu turunan parsial? Turunan parsial merupakan suatu turunan dari fungsi peubah banyak terhadap suatu peubah, sedangkan peubah yang lain dipertahankan.

Misalkan terdapat suatu fungsi: f(x, y) = 2xy, turunan parsial dari fungsi tersebut terhadap variabel x yaitu fx’(x, y) = 2y.

Turunan parsial terhadap variable y yaitu fy’(x, y) = -6xy.

Berikutnya akan dijelaskan mengenai turunan implisit.

Turunan Implisit

Turunan implisit ditentukan berdasarkan variabel yang terdapat dalam fungsi.

Suatu fungsi dengan variabel x, turunannya : x d/dx.

Suatu fungsi dengan variabel y, turunannya : y d/dy. dy/dx.

Suatu fungsi dengan variabel x dan y, turunannya : xy d/dx + xy d/dy . dy/dx.

Sifat-sifat Turunan

1. Jika $f(x)=c$ dimana $c$ adalah konstanta, maka turunannya adalah$f'(x)=0$

Contoh:$$\begin{aligned} f(x)&=2 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=13 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=100 &\rightarrow f'(x)=0 \end{aligned}

2. Jika $f(x)=cx$, maka turunannya adalah$f'(x)=c$

3. Jika $f(x)=x^n$ maka turunannya adalah$f'(x)=nx^{n-1}$

4. Jika $f(x)=cx^n$maka turunannya adalah$f'(x)=cnx^{n-1}$

5. Jika $f(x)=c\,u(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=c\,u'(x)$

6. Jika $f(x)=u(x)\pm v(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=u'(x)\pm v'(x)$

7. Jika $f(x)=u(x)v(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

8. Jika $f(x)=\displaystyle\frac{u(x)}{v(x)}$ maka turunannya adalah$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

9. Jika $f(x)={u(x)}^n$ maka turunannya adalah$f'(x)=n(u(x))^{n-1}u'(x)$

Sifat-sifat Turunan Logaritma Natural

$\begin{aligned} f(x)&={^c}\log{x}&\rightarrow &f'(x)=\frac{1}{x}.{^c}\log e\\ f(x)&={^c}\log{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.{^c}\log e \end{aligned}$dimana $e$ adalah bilangan euler yang nilainya adalah $e=2\text{,}7182818.$

Sifat-sifat Turunan Logaritma

$\begin{aligned} f(x)&=\sin{x}&\rightarrow&f'(x)=\cos{x}\\ f(x)&=\cos{x}&\rightarrow&f'(x)=-\sin{x}\\ f(x)&=\tan{x}&\rightarrow&f'(x)=\sec^2{x}\\ f(x)&=\cot{x}&\rightarrow&f'(x)=-\csc^2{x}\\ f(x)&=\sec{x}&\rightarrow&f'(x)=\sec{x}.\tan{x}\\ f(x)&=\csc{x}&\rightarrow&f'(x)=-\csc{x}.\cot{x} \end{aligned}$Perluasan Turunan Fungsi Trigonometri$\begin{aligned} f(x)&=\sin{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\cos{g(x)}\\ f(x)&=\cos{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\sin{g(x)}\\ f(x)&=\tan{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\sec^2{g(x)}\\ f(x)&=\cot{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\csc^2{g(x)}\\ f(x)&=\sec{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\sec{g(x)}.\tan{g(x)}\\ f(x)&=\csc{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\csc{g(x)}.\cot{g(x)} \end{aligned}$

Contoh Soal Turunan

1. Tentukan turunan dari fungsi berikut.

• f(x) = 8
• g(x) = 3x + 5
• h(x) = 6x3
• k(x) = 3x5/3
• m(x) = (3x2 + 3)4

Pembahasan

• f’(x) = 0
• g’(x) = 3
• h’(x) = 6 (3) x3 – 1 = 18x2
• k’(x) = 3 (5/3) x(5/3) – 1 = 5x2/3
• m’(x) = 4 . (3x2 + 3)4 – 1 . 6x = 24x . (3x2 + 3)3

2. Tentukan turunan dari fungsi berikut.

f(x) = (3x + 2) . (2x2 – 1)

Pembahasan

Misal: u(x) = 3x + 2 dan v(x) = 2x2 – 1

f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)

f’(x) = 3 . (2x2 – 1) + (3x + 2) . (4x)

f’(x) = 6x2 – 3 + 12x2 + 8x = 18x2 + 8x – 3

3. Diberikan sebuah fungsi ordo 2 seperti di bawah ini

Tentukan nilai f(0) + 3f’(1)

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal ini, kita dapat memasukkan nilai 0 ke dalam fungsi tersebut.

Setelah Anda, mendapatkan nilai f(0). Kita dapat mengerjakan turunan fungsi hasil bagi menggunakan salah sifat turunan.

Untuk menggunakan rumus tersebut, kita dapat menggunakan pemisalan dan turunannya seperti di bawah ini.

U = x2 + 3 ; U’ = 2x

V = 2x + 1 ; V’ = 2

Kemudian, kita bisa memasukkan pemisalan tersebut ke dalam rumus turunan yang sebelumnya serta kita dapat secara langsung memasukkan f’x(1).

Maka, hasil f(0) + 3f’(1) = 3 + 3(0) = 3

4. Tentukan hasil turunan f(x) = (x2 + 2x + 3)(3x + 2)

Pembahasan

Sama seperti soal sebelumnya, Untuk mengerjakan soal turunan dalam bentuk perkalian, kita dapat menggunakan rumus sifat turunan serta menggunakan pemisalan dalam fungsi tersebut seperti di bawah ini.

F’(x) = u’v + uv’

U = x2 + 2x + 3 ; U’ = 2x + 3

V = 3x + 2 ; V’ = 3

F’(x) = u’v + uv’

F’(x) = (2x+3)(3x + 2) + (x2 + 2x + 3)(3)

F’(x) = 6x2 + 13x + 6 + 3x2 + 6x + 9

F’(x) = 9x2 + 19x + 15

Sehingga bentuk akhir F’(x) adalah 9x2 + 19x + 15

https://rumuspintar.com/turunan/

https://www.rumusstatistik.com/2018/07/sifat-sifat-turunan.html