SOAL TRIGONOMETRI: pembuktian dalam matematika

Indah Putri Lestari
XI IPS 2
Matematika

PEMBUKTIAN LANGSUNG
Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Gampangnya sih, “kalau A maka B dan kalau B maka C”.
Nah, untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Coba deh kamu buktikan pernyataan ini.

“Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap”

Ya... kalau kita pikir-pikir, ya pasti sih, 2 + 2 = 4 dan 4 + 10 = 14. Tapi gimana ya buat bisa membuktikan kalau pernyataan itu berlaku buat semua bilangan genap? Coba perhatikan deh gambar di bawah.

Jadi pertama kamu definisikan dulu tuh bilangan genap itu seperti apa. Bila definisinya sudah benar, lanjut ke pernyataan selanjutnya, maka penjumlahan kedua bilangan itu akan seperti apa. Kamu juga butuh sedikit memanipulasi penjumlahan itu agar bisa mendapat bentuk yang diinginkan.

https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika

contoh

1.Buktikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.

Misalkan bilangan tersebut adalah

m

dan

n

. Karena

m

dan

n

ganjil, maka terdapat bilangan bulat

p

dan

q

sedemikian sehingga

m = 2 p + 1

dan

n = 2 q + 1

. Dengan menjumlahkan diperoleh

\begin{aligned} m + n & = (2 p + 1) + (2 q + 1) \\ = 2 p + 2 q + 2 \\ = 2 (p + q + 1) \\ = 2 k \end{aligned}

Karena

m + n = 2 k

untuk bilangan bulat

k = p + q + 1

maka

m + n

merupakan bilangan genap berdasarkan definisi bilangan genap.
Q.E.D.

2. Buktikan bahwa jumlah bilangan genap dan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

Misalkan bilangan tersebut adalah

m = 2 p

dan

n = 2 q + 1

dengan suatu bilangan bulat

p

dan

q

. Jumlahkan

m

dan

n

diperoleh

\begin{aligned} m + n & = 2 p + (2 q + 1) \\ = 2 (p + q) + 1 \\ = 2 k + 1 \end{aligned}

Karena

m + n = 2 k + 1

untuk bilangan bulat

k = p + q

, maka

m + n

adalah bilangan ganjil.
Q.E.D.

http://mathismatematika.blogspot.com/2016/09/pembuktian-teorema-bukti-langsung.html

PEMBUKTIAN TIDAK LANGSUNG

Pembuktian Tidak Langsung Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :

1) kontraposisi

Kontraposisi adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung. Kontraposisi memanfaatkan salah satu prinsip dalam logika matematika yaitu

Artinya, kalau mau membuktikan pernyataan p akan menghasilkan pernyataan q itu benar, maka buktikan saja bila bukan q maka akan menghasilkan bukan p. Untuk memahami lebih lanjut coba deh buktikan

“Bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap, maka n bilangan ganjil”

Misalnya pernyataan p adalah 7n + 9 bilangan genap dan pernyataan q adalah n bilangan ganjil. Maka yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9 bukan bilangan genap (bilangan ganjil).

Terbukti kan bila n bukan bilangan ganjil maka 7n + 9 juga bukan bilangan genap? Secara nggak langsung dapat disimpulkan deh bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap maka n bilangan ganjil.

https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika

2) Kontradiksi
Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh Soal :
1. Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.
Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :
p : n bilangan bulat ganjil,
q : n² bilangan bulat ganjil

Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :
p : n bilangan bulat ganjil,
∼ q : n² bilangan bulat genap.
Karena n bilangan bulat ganjil maka bisa kita asumsikan n = 2k + 1 dengan k bilangan bulat. Sehingga :
n² = (2k +1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 (2k² + 2k) + 1, Jika kita asumsikan 2k² + 2k = m, Maka persamaan menjadi :
n² = 2m + 1, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat ganjil. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa n² bilangan bulat genap. Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.

2. Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap
Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :
p : n bilangan bulat genap,
q : n² bilangan bulat genap

Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :
p : n bilangan bulat genap,
∼ q : n² bilangan bulat ganjil.
Karena n bilangan bulat genap maka bisa kita asumsikan n = 2k dengan k bilangan bulat. Sehingga :
n² = (2k)² = 4k² = 2 (2k²), Jika kita asumsikan 2k² = m, Maka persamaan menjadi :
n² = 2m, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat genap. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa n² bilangan bulat ganjil. Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap.

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli.

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k).

Jenis Induksi Matematika

Deret Bilangan

Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1)$ .

Langkah 1

untuk n = 1, maka :

$1 = \frac{1}{2}n(n + 1)$

$1 = \frac{1}{2}(1)(1 + 1)$

1 = 1

Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.

Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2}k(k + 1)$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)((k + 1) + 1)$

Pembuktiannya:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} k(k + 1) + (k + 1)$ (dalam langkah 2, kedua ruas ditambah

tambah k + 1)

$= \frac{1}{2}k (k + 1) +\frac{1}{2} [2(k + 1)]$ . (k + 1) dimodifikasi menyerupai $\frac{1}{2} k (k + 1)$ )

$= \frac{1}{2}[k(k + 1) + 2(k + 1)]$ (penyederhanaan)

$= \frac{1}{2}(k^2 + k + 2k + 2)$

$= \frac{1}{2}(k^2 + 3k + 2)$

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)(k + 2)$ (terbukti)

Bilangan bulat hasil pembagian

Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Sebagai ilustrasi, dibuktikan secara induksi matematika bahwa $5^{2n} + 3n - 1$ habis dibagi 9.

Langkah 1
untuk n = 1, maka:
$5^{2n} + 3n - 1 = 5^{2(1)} + 3(1) - 1$
$=5^2 + 3 - 1$
= 27
27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar.

Langkah 2
Misal rumus benar untuk n = k, maka :
$5^{2n} + 3n -1 \overset {menjadi}{\rightarrow} 5^{2k} + 3k - 1$ (habis dibagi 9)
$5^{2k} + 3k - 1 =9b$ (b merupakah hasil bagi 5^{2k} + 3k - 1 oleh 9)

Langkah 3
Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Pembuktian:
$5^{2(k + 1)} + 3(k + 1) - 1$
$= 5^{2k + 2} + 3k + 3 - 1$
$= 5^2 (5^2k) + 3k + 3 -1$
kemudian (5^{2k}) dimodifikasi dengan memasukan $5^{2k} + 3k - 1$
$= 25 (5^{2k} + 3k - 1) - 75k + 25 + 3k + 3 -1$
$= 25(5^{2k} + 3k -1) - 72k + 27$
$= 25 (9b) - 72k + 27$