remedial PHB matematika

Indah Putri Lestari (17) 
X IPS 2

Fungsi Invers

Contoh Soal 1

Jika f (x) = 5 – 1 / 3x, maka f-1 (x) = …

A. 3x + 15
B. 3x – 15
C. -3x + 15
D. -3x – 15
E. -3x + 5/3

Pembahasan

f (x) = 5-1 / 3x
1 / 3x = 5 – f (x)
x = (5 – f (x)). 3
x = 15 – 3 f (x)
f-1 (x) = -3x + 15

Jawab : A

Contoh Soal 2

Jika f (x) = (x + 3) / (x – 2), f-1 (x) = …

A. (2x + 3) / (x – 1)
B. (x – 3) / (x + 2)
C. (2x + 3) / (x +1)
D. (-2x + 3) / (x + 1)
E. (-x + 3) / (x – 2)

Pembahasan

Langkah 1:

Biarkan f (x) = y

y. = (x + 3) atau (x – 2)
y (x – 2) = x + 3
yx – 2y = x + 3
yx – x = 2thn + 3
x (y – 1) = 2y + 3

x = (2y + 3) / (y – 1) Kemudian ganti x dengan f-1 (x) dan y dengan x

f-1 (x) = (2x + 3) / (x-1)

Langkah 2:

Jika f (x) = (kapak + b) / (cx + d) Jadif-1 (x) = (-dx + b) / (cx-a))

Kemudian kita bisa bertukar tempat dan mengganti karakter 1 dengan -2.

f-1 (x) = (2x + 3) / (x-1)

Jawab: A

Contoh Soal 3

Jika f (x) = 2x / (x – 1), maka f-1 (1) = …
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3

Pembahasan
Pertama tentukan f-1 (x)
y = 2x / (x – 1)
y (x – 1) = 2x
yx – y = 2x
yx – 2x = y
x (y – 2) = y
x = y / (y – 2)
f-1 (x) = x / (x – 2)
f-1 ((1)) = 1 / (1-2) = -1

Jawab: A

Contoh Soal 4

Diketahui f -1 (4x-5) = 3x-1 dan (f -1 ◦ f)(5)= p2 +2p – 10 maka rata-rata dari nilai p adalah…

1. -4
2. -2
3. -1
4. 1
5. 4

Jawab:

f (x) = y ↔ f -1 (y) = x
f (5) = y
f –1 (4x-5) = 3x-1
sehingga 3x-1 = 5
x = 2 dan y = 4x-5 = 3
x = 2

Menentukan nilai p

(f– -1 ◦ f)(5) = p2 + 2p-10
f -1 (f(5)) = p2 + 2p – 10
f—1(3) = p2 + 2p – 10
3(2)-1 = p2 + 2p – 10
p2 + 2p – 1 = 0
(p + 5)(p – 3) = 0
p = -5 dan p = 3

Sehingga, rata-rata nilai p yaitu 

Jawaban : C

Contoh Soal 5

Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi f(x) = 2x + 6.

Jawab:

Contoh Soal 6

Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi 

Jawab:

Contoh Soal 7

Diketahui  jika  adalah invers dari f, maka = ...
a.    2/3 (1 + x)
b.    2/3 (1 – x)
c.    3/2 (1 + x)
d.    – 3/2 (x – 1)
e.    – 2/3 (x + 1)
Pembahasan
Ingat rumus ini ya:  jika  , maka:

Jawaban : A

Contoh Soal 8

Diketahui f(x) = x + 4 dan g(x) = 2x maka  = ...
a.    2x + 8
b.    2x + 4
c.    ½ x – 8
d.    ½ x – 4
e.    ½ x – 2
Pembahasan
(f o g)(x) = f(g(x))
              = f(2x)
              = 2x + 4
Kita cari invers dari (f o g)(x) yaitu:
(f o g)(x) = 2x + 4
y = 2x + 4
2x = y – 4
x = (y-4)/2
x = ½ y – 2
maka, = ½ x – 2
Jawaban : E

Contoh Soal 9

Fungsi f ditentukan  , x ≠ 3, jika  invers dari f maka (x + 1) = ...  

Contoh Soal 10

Invers dari fungsi  , x ≠ 4/3 adalah(x) = ...
  
Pembahasan
Rumusnya: jika

Jawaban : A

Contoh Soal 11

Jika  dan f-1 invers dari f, maka (x) = -4 untuk nilai x sama dengan ...
a.    -2
b.    2
c.    – ½
d.    -3
e.    – 1/3
Pembahasan
Kita pakai rumus: jika 

     -2x + 1 = -4x
     -2x + 4x= -1
     2x = -1
     x = - ½
Jawaban : C

 

Contoh Soal 12

 Jika g(x) = x + 1 dan  maka f(x) = ...

Pembahasan


Jawaban: B

Contoh Soal 13

Diketahui  , x ≠ 5/6 dan fungsi invers dari f(x) adalah (x). Nilai dari (2) = ...
a.    14/3
b.    17/14
c.    6/21
d.    – 17/14
e.    – 14/3
Pembahasan
Kita pakai rumus: jika


Jawaban : C

Contoh Soal 14

 Jika dan  adalah invers dari f, maka (x + 1) = ...
 
Pembahasan
Kita pakai rumus: jika 

Jawaban : A

Contoh Soal 15

Diketahui  untuk setiap bilangan real x ≠ 0. Jika g : R --> R adalah suatu fungsi sehingga (g o f)(x) = g(f(x)) = 2x + 1 maka fungsi invers g-1(x) = ...

Pembahasan

Maka:

Jawaban : D

soal trigonometri

Indah Putri Lestari

X IPS 2 

Contoh Soal Trigonometri

Contoh Soal 1
Tentukanlah nilai dari sin 120°+cos 201°+cos 315°!

Jawab:

sin 120° berada pada kuadran 2, hingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti sin 120° = sin (180-60)° = sin 60° = 1/2 √3

cos 120° berada pada kuadran 3, hingga nilainya negatif dengan besar sama seperti cos 120° = cos (180+30)° = – cos 30° = -1/2 √3

cos 315° berada pada kuadran 4, hingga nilainya positif dengan besar sama seperti cos 315° = cos (360-45)° = cos 45° = 1/2 √2

Contoh Soal 2

Diketahui siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4 dan b = 3.
Tentukanlah panjang sisi dan nilai perbandingan trigonometri sudut α

Jawab:

Contoh Soal 3

Jika sin(β) = $\frac{1}{2}$ dan sudut β lancip, tentukan nilai dari $se{c}^2\left(\beta \right)-ta{n}^2\left(\beta \right)$

Pembahasan :
sin(β) = $\frac{depan}{miring}$ = $\frac{1}{2}$

depan = 1
miring = 2
samping = $\sqrt{2^2-1^2}$ = $\sqrt{3}$

Sesuai definisi
sec(β) = $\frac{2}{\sqrt{3}}$
tan(β) = $\frac{1}{\sqrt{3}}$
sec²(β) − tan²(β) = ($\frac{2}{\sqrt{3}}$)² − ($\frac{1}{\sqrt{3}}$)²
sec²(α) − tan²(α) = $\frac{4}{3}$ − $\frac{1}{3}$
sec²(α) − tan²(α) = 1
Jadi, sec²(β) − tan²(β) = 1

Contoh Soal 4

Jika cos(γ) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari $cs{c}^2\left(\gamma \right)-co{t}^2\left(\gamma \right)$ 

Pembahasan :
cos(γ) = $\frac{samping}{miring}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
samping = $\sqrt{2}$
miring = 2
depan = $\sqrt{2^2-(\sqrt{2}{)}^2}$ = $\sqrt{2}$

Sesuai definisi
csc(γ) = $\frac{2}{\sqrt{2}}$
cot(γ) = $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = 1

csc²(γ) − cot²(γ) = ($\frac{2}{\sqrt{2}}$)²  − (1)²
csc²(γ) − cot²(α) = 2 − 1
csc²(γ) − cot²(α) = 1

Jadi, csc²(γ) − cot²(γ) = 1

Contoh Soal Sudut Berelasi

Contoh Soal 1

Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°

Jawab :
Sudut 143° adapada kuadran II, hingga tan 143° memiliki nilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
= -tan 37°

Sudut 233° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
= -cos 37°
Perhatikan sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)

Sudut 323° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
= cos 37°

Contoh Soal 2

Tanpa memakai kalkulator, tentukan nilai dari sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘

Jawab :

sin 100° = sin (90° + 10°)
= cos 10°

cos 190° = cos (180° + 10°)
= -cos 10°

cos 350° = cos (360° − 10°)
= cos 10°

sin 260° = sin (270° − 10°)
= -cos 10°

Hingga :
sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘=cos10∘−(−cos10∘)cos10∘−(−cos10∘)=2cos10∘2cos10∘=1

Contoh Soal 3

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 20°
tan 40°
cos 53°

Jawab :
sin 20° = sin (90° − 70°)
= cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
= sin 37°

Jika diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

Contoh Soal 4

Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 153°

sin 243°

cos 333°

Jawab :

Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.

tan 153° = tan (180° − 27°)

= -tan 27°

Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 243° = sin (270° − 27°)

= -cos 27°

Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 333° = cos (360° − 27°)

= cos 27°

Contoh Soal 5

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 50°

tan 40°

cos 35°

Jawab :

sin 50° = sin (90° − 400°)

= cos 40°

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50°

cos 35° = cos (90° − 55°)

= sin 55°

Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran I.

Aturan Sinus Cosinus Dan Luas Segitiga

Contoh Soal 1

Deketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 25 cm, sudut A = 60°, dan sudut C = 75° jika sin 75° = 0,9659, tentukan panjang BC dan AB

Jawaban : 

Contoh Soal 2

Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 8 √2 cm, sudut B = 45° tentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lainnya.

Jawaban : 

Contoh Soal 3

Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 4 cm, AC = 6 cm dan sudut C = 60°, tentukan panjang sisi AB

Jawaban : 

Contoh Soal 4

Diketahui segitiga ABC, dengan AB = 7 cm, AC = 8 cm, BC = 5 cm, tentukan sin A 

Jawaban : 

Contoh Soal 5

Tentukan luas segitiga ABC, jika diketahui AB = 15 cm, BC = 10 cm, ∠ B = 30°

Jawaban : 

Persamaan Trigonometri

Contoh Soal 1 

Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x =  ½ ….

A. HP = {60o,420o}

B. HP = {60o,300o}

C. HP = {30o,360o}

D. HP = {30o,120o}

E. HP = {-60o,120o}

Jawaban : B

Pembahasan : 

Contoh Soal 2

Tentukan penyelesaian persamaan  dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π 

Pembahasan :

Contoh Soal 3

Tentukan penyelesaian persamaan  dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π 

Pembahasan :

Contoh Soal 4

Untuk 0 ≤ x ≤ 360 tentukanlah himpunan penyelesaian dari sin 3x = 1/2

Jawab :
sin 3x = 1/2
sin 3x = sin 30

3x = 30 + n.360
x = 10 + n.120

untuk n = 0
maka x = 10
untuk n = 1
maka x =130
untuk n = 2
maka x =250o

3x = 180 – 30 + n.360
x = 50 + n.120

untuk n = 0
maka x = 50
untuk n = 1
maka x = 170
untuk n = 2
maka x = 290

Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu {10, 50, 130, 170, 250, 290}

Contoh Soal 5

Himpunan penyelesaian dari persamaan
tan 4x = √3 0 ≤ x ≤ 360

Jawab :

tan 4x = √3
tan 4x = tan 60
4x = 60 + n.180
x = 15 + n.45

untuk n = 0
maka x = 15
untuk n = 1
maka x = 60
untuk n = 2
maka x = 105

untuk n = 3 maka x = 150
untuk n = 4 maka x = 195
untuk n = 5 maka x = 240
untuk n = 6 maka x = 285
untuk n = 7 maka x = 330

Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu {15, 60, 105, 150, 195, 240, 285, 330}

Grafik Trigonometri

Contoh Soal 1

Fungsi y = 10\sin x - 4. Tentukan nilai maksimum, minimum, dan amplitudo fungsi tersebut.

Pembahasan :

Contoh Soal 2

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi trigonometri di bawah in!

a. f(x) = 2 sin 2x + 5

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8

Pembahasan :

a. f(x) = 2 sin 2x + 5 → a = 2 , c = 5

Nilai maksimum = |a| + c = |2| + 5 = 7

Nilai minimum = -|a| + c = -|2| + 5 = 3

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8 → a = -3 , c = -8

Nilai maksimum = |a| + c = |-3| + |-8| = 11