MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DENGAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA

Indah Putri Lestari (17)

XI IPS 2

Matematika

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DENGAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA

Langkah - Langkah Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan

Berikut langkah-langkah mengambar grafik suatu fungsi menggunakan turunan :

i). Menentukan titik potong (tipot) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y). Titik potong sumbu X, substitusi y=0y=0 . Titik potong sumbu Y, substitusi x=0x=0 .

ii). Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok).

iii). Menentukan titik bantuan lain agar grafiknya lebih mudah sketsa, atau bisa juga secara umum menentukan nilai yy untuk xx besar positif dan untuk xx besar negatif.Contoh :

1). Gambarlah grafik kurva y=3x2−x3y=3x2−x3.

Penyelesaian : i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu : *). Tipot sumbu X, substitusi y=0

y=0 y=0→y 0=3x2−x3

3x2−x3=0

x2(3−x)

x=0 ∨ x =3

Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0) dan (3,0). *). Tipot sumbu Y, substitusi x=0

y=3x2−x3 = 3.02−03 = 0y = 3x2−x3 = 3.02−03 = 0

Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0).

ii). Menentukan titik-titik stasioner,

Fungsi : y=3x2−x3 f′(x)=6x−3x2f′(x)=6x−3x2 dan f′′(x)=6−6x

*). Syarat stasioner : f′(x)=0

f′(x)=0 6x−3x2=0

3x(2−x)=0

x=0 v x =2

Untuk x=0x=0 , nilai stasionernya f(0)=3.02−03=0 titik stasionernya (0,0) . Untuk x=2x=2 , nilai stasionernya f(2)=3.22−23=4 titik stasionernya (2,4).

*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : f′′(x)=6−6xf′′(x)=6−6x Untuk x=0→f′′(0)=6−6.0=6x=0→f′′(0)=6−6.0=6 (positif) , jenisnya minimum. Untuk x=2→f′′(2)=6−6.2=−6x=2→f′′(2)=6−6.2=−6 (negatif) , jenisnya maksimum. Artinya titik (0,0) adalah titik balik minimum dan titik (2,4) adalah titik balik maksimum.

iii). Berdasarkan fungsi y=3x2−x3,y=3x2−x3, kita substitusi beberapa nilai xx yaitu : Untuk xx semakin besar, nilai yy semakin besar negatif (ke bawah) dan untuk xx semakin kecil, nilai yy semakin besar positif (ke atas).

2. Gambarkan grafik berikut dengan menggunakan konsep turunan.
Titik stasioner diperoleh berada di titik (1, -1) sebagai berikut:
Interval naik atau turun pada fungsi:
Pada fungsi tidak terdapat titik belok karena 2 tidak sama dengan nol, sepertii berikut:Titik optimum berada di titik (1, -1) dengan melakukan uji titik stasioner ke turunan kedua fungsi, , dimana f''(x)=2>0. Sehingga grafik fungsi dengan konsep turunan pada soal dapat kita gambarkan seperti di bawah ini:
Contoh soal 1

Perhatikan gambar dibawah ini.

Contoh soal fungsi kuadrat nomor 8

Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…
A. (-1, 0) dan (-8, 0)
B. (-1, 0) dan (8, 0)
C. (1, 0) dan (-8, 0)
D. (1, 0) dan (8, 0)
E. (2, 0) dan (5, 0)

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

• titik balik xp = 9/2
• titik balik yp = -49/4
• y = 8

xp = -b         9

       2 . a  =  2

Sehingga kita dapat a = 2

                                      2  = 1 dan b = -9.

yp = -(b2 – 4 . a . c)      -49

                 4 . a          =   4

b2 – 4 . a . c = 49
92 – 4 . 1 . c = 49
81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32
c = 32

      4    = 8

Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah:
y = ax2 + bx + c
y = xp – 9x + c
Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut:
xp – 9x + 8 = 0
(x1 – 8) (x2 – 1) = 0
x1 = 8 dan x2 = 1

Jadi titik potong sumbu X adalah (8,0) dan (1,0). Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 2

Selidikilah apakah grafik fungsi berikut memotong sumbu X, menyinggung sumbu X atau tidak memotong sumbu X.

1. y = x2 + 9x + 20
2. y = 2x2 – 3x + 1

Pembahasan / penyelesaian soal

1. a = 1 dan D = b2 – 4ac = 92 – 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
2. a = 2 dan D = b2 – 4ac = -32 – 4 . 2 . 1 = 9 – 8 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.

Contoh soal 3

Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.

Contoh soal 5 fungsi kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = x2 – 2x + 15
B. y = x2 – 2x – 15
C. y = x2 + 2x + 15
D. y = x2 – 8x – 15
E. y = x2 – 8x + 15

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

• x1 = -5
• x2 = -3
• y = 15

Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:

• y = a (x – x1) (x – x2)
• y = a (x – (-5)) (x – (-3))
• y = a (x + 5) (x + 3)
• y = a (x2 + 3x + 5 x + 15)
• y = a (x2 + 8x + 15)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = 15 sehingga didapat:

• 15 = a (02 + 8 . 0 + 15)
• 15 = a . 15
• a = 15/15 = 1

Jadi fungsi kuadratnya adalah:

• y = 1 (x2 + 8x + 15)
• y = x2 + 8x + 15

Jadi soal ini jawabannya C.

https://www.kompas.com/skola/read/2020/11/18/174944769/menggambar-grafik-fungsi-pada-konsep-turunan?page=all

https://soalfismat.com/contoh-soal-fungsi-kuadrat-dan-pembahasannya/

JAWABAN SOAL PTS SEMESTER 2

Indah Putri Lestari (17)

XI IPS 2

Matematika

JAWABAN SOAL PTS SEMESTER 2

 

2. L persegi = s²

    f(x) = axⁿ  

        f'(x) = nx^n-1

        f (x) = x²

        f'(x) = 2x ^2-1 =2x

             x = 6  

    f'(6) = 2.6

            =12

3. Diketahui:

    P (t) = 10³ .t²  - 5 .10² .t + 10^6

    Ditanya:

    Laju pertumbuhan penduduk 5 tahun mendatang = ?

    Jawab:

    Laju perubahan pada t = 5 dihitung dengan  p' (5)

    P (t) = 10³ .t²  - 5 .10² .t + 10^6

    P' (t) = 2 . 10³  . t  - 5 .10²

    P' (5) = 2 . 10³ (5) - 5 . 10²

             = 10 . 10³ - 5 .10²

             = 10.000 - 500

             = 9.500. penduduk

      Jadi, laju pertumbuhan penduduk 5 tahun mendatang adalah *9.500. penduduk*

4. n = 2m - 40

    p = m² + n²

       = m² + (2m - 40)²

       = 5m² - 160m + 1600

    minimum saat p' = 0

       10m - 160 = 0

    m = 16

    n = 32 - 40 = - 8

    maka nilai minimumnya:

    p = 16² + (-8)² = 256 + 64 = 320

5. Diberikan fungsi f(x) = ax² + bx+ c. Jika f'(0) = 2 dan f(2) = 6. Tentukan nilai     a, b, dan c!

    Jawab :

    • f'(x) = 2ax + b

            2 = 2a(0) + b

            2 = 2+b

            b = 0

    • f(2) = a(2)²+ b(2) + c

          6 = 2a² + 2b + c

          6 = 2a² + c

          c = 6 - 2a²

         a² = c/2 - 3

         a  = c/2 / ½ - 3/½

    Jadi, a = c/2 / ½ - 3/½, b= 0, dan c = 6 - 2a²

1. Lim = 2x + 3 x²

     X →2

    = 2(2) + 3(2)²

    = 4 + 3(4)

    = 4 + 12

    = 16

2. Lim = (x²-5)³

     X →-3

     = ((-3)²- 5)²

     = (9-5)³

     = 4³

     = 64

7. gradien garis singgung adalah turunan pertama fungsi

m=y'

y=x³+10
y=18

18=x³+10
x³=18-10
x³=8
x³=2³
x=2

m=y'
m=3x²=3(2)²=12

y-y1=m(x-x1)
y-18=12(x-2)
y-18=12x-24
y=12x-24+18
y=12x-6

8. Tentukan pers garis singgung pada kurva y=x^4 -7x^2+20 di titik yg berabsis 2

Persamaan garis singgug

y = x⁴ - 7x² + 20
titik singgung (x,y)
x= 2 ,
y = (2⁴) - 7(2²) + 20 = 8

gradien garis m = y' = 4x³ - 14x
x = 2 ,
m = 4(8)- 14(2) = 32 -28 = 4

pers garis singgung y - y1 = m( x - x1)
y- 8 = 4(x - 2)
y = 4x - 8 + 8
y = 4x

9. Garis yang menyinggung kurva y = 12  - x⁴  dan tegak lurus dengan x - 32y = 48 mempunyai persamaan ...

y = 12  - x⁴
y' = - 4x³

Persamaan garis dari soal :
x - 32y = 48
32y = x - 48

Garis ini memiliki gradien


Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka
m₁.m₂ = -1

m₂= -32
m₂ ini adalah gradien garis singgung, sehingga sama dengan turunan
y' = -32
 - 4x³ = -32
x³ = 8
x = 2
 y = 12  - x⁴ = 12-2⁴ = -4
Persamaan garis singgungnya adalah
y - y₁ = m(x - x₁)
y + 4 = -32(x - 2)
y + 4 = -32x + 64
y = -32x + 60