SOAL CERITA MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

Indah Putri Lestari (16) 

XI IPS 2

Matematika

 Cerita Menentukan Nilai Optimum 

Contoh soal 1

Nilai maksimum f(x, y) = 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ...

a.    24

b.    32

c.    36

d.    40

e.    60

PEMBAHASAN

-    x + y ≤ 8

ketika x = 0, maka y = 8 .... (0, 8)

ketika y = 0, maka x = 8 .... (8, 0)

-    x + 2y ≤ 12

ketika x = 0, maka y = 6 .... (0, 6)

ketika y = 0, maka x = 12 .... (12, 0)

Sehingga, grafik dari pertidak samaan di atas adalah:

Kita cari dulu titik B, yaitu titik potong dua buah garis, yaitu:

subtitusikan y = 4 dalam x + y = 8

x + 4 = 8

x = 4 .... (4, 4)

Jadi, nilai fungsi obyektifnya adalah:

f(x, y) = 5x + 4y

-    titik A (0, 6)

      5x + 4y = 5.0 + 4.6 = 24

-    titik B (4, 4)

      5x + 4y = 5.4 + 4.4 = 20 + 16 = 36

-    titik C (8, 0)

      5x + 4y = 5.8 + 4.0 = 40

Jadi, nilai maksimumnya adalah 40.

JAWABAN: D

Contoh soal 2

Nilai minimum fungsi obyektif  f(x, y) = 3x + 2y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah  ...

a.    4

b.    6

c.    7

d.    8

e.    9

PEMBAHASAN

Perhatikan gambar berikut:

Ingat ya, rumus persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah: ax + by = a.b, maka:

-    Persamaan garis p = 4x + 2y = 4.2 = 4x + 2y = 8 = 2x + y = 4

-    Persamaan garis q = 3x + 3y = 3.3 = 3x + 3y = 9 = x + y = 3

Selanjutnya, kita cari titik potong garis p dan q, yaitu di titik B:

subtitusikan x = 1 dalam x + y =3

1 + y = 3

y = 2 .... B(1, 2)

kita cari nilai dari fungsi obyektif  f(x, y) = 3x + 2y:

-    Titik A (0, 4)

     3x + 2y = 3.0 + 2.4 = 8

-    Titik B (1, 2)

      3x + 2y = 3.1 + 2.2 = 7

-    Titik C (3, 0)

      3x + 2y = 3.3 + 2.0 = 9

Jadi, nilai minimumnya adalah 7

JAWABAN: C

Contoh soal 3

Daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12, 4x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah ...

a.    I
b.    II
c.    III
d.    IV
e.    I dan III
PEMBAHASAN
-    Daerah hasil 2x + 3y ≤ 12 adalah area II dan III
-    Daerah hasil  4x + y ≥ 10 adalah area III dan IV
Maka, yang mencakup keduanya adalah area nomor III
JAWABAN: C

Contoh soal 4

Seorang tukang jahit akan membuat pakaian model A dan model B. Model A memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model B memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Persediaan kain polos 20 m dan bergaris 10 m. Banyaknya total pakaian jadi akan maksimal jika banyaknya model A dan model B masing-masing...

a.    7 dan 8
b.    8 dan 6
c.    6 dan 4
d.    5 dan 9
e.    4 dan 8
PEMBAHASAN
Dari soal dapat diresume dalam tabel berikut;

Model matematika yang dapat dibentuk:
x + 2y ≤ 20
1,5x + 0,5 y ≤ 10 atau 15x + 5y ≤ 100
Kita cari titik potong kedua garis tersebut:

subtitusikan x = 4 dalam persamaan x + 2y = 20
4 + 2y = 20
2y = 16
y = 8
maka, banyak model A = 4 dan model B = 8
JAWABAN: E

Contoh soal 5

Daerah mana yang diarsir di bawah ini adalah daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum fungsi objektif (3x + 5y) pada daerah penyelesaian tersebut ...

a.    30
b.    26
c.    24
d.    21
e.    18
PEMBAHASAN
Perhatikan gambar:

-    Persamaan garis p = 6x + 4y = 24 atau 3x + 2y = 12
-    Persamaan garis q = 4x + 6y = 24 atau 2x + 3y = 12
Titik potong garis p dan q adalah:

subtitusikan y = 12/5 dalam 2x + 3y = 12:
2x + 3.12/5 = 12
2x = 12 – 36/5
2x = 60/5 – 36/5
2x = 24/5
x = 24/10 = 12/5 .... titik B (12/5, 12/5)
Nilai dari fungsi obyektif  3x + 5y adalah:
-    Titik A (0, 6)
      3x + 5y = 3.0 + 5. 6 = 30
-    Titik B (12/5, 12/5)
      3x + 5y = 3.12/5 + 5.12/5 = 36/5 + 60/5 = 96/5 = 19,2
-    Titik C (6, 0)
      3x + 5y = 3.6 + 5.0 = 18
Jadi, nilai minimumnya adalah 30
JAWABAN: A

Contoh soal 6

Nilai maksimum dari z = -3x + 2y yang memenuhi syarat 3x + y ≤ 9, 5x + 4y ≥ 20, x ≥ 0 adalah ...
a.    10
b.    14
c.    18
d.    20
e.    24
PEMBAHASAN
-    3x + y ≤ 9
Jika x = 0, maka y = 9 .... (0, 9)
Jika y = 0, maka x = 3 .... (3, 0)
-    5x + 4y ≥ 20
Jika x = 0, maka y =5 ..... (0, 5)
Jika y = 0, maka x = 4 .... (4, 0)
Kita cari daerah hasilya dengan menggambarnya:

Kita cari dulu titik potong kedua garis di titik B:

subtitusikan x = 16/7 dalam 3x + y = 9
3.16/7 + y = 9
48/7 + y = 9
y = 9 – 48/7
y = 63/7 – 48/7
y = 15/7 ... titik B (16/7, 15/7)
Kita cari nilai dari fungsi obyektif  z = -3x + 2y:
-    Pada titik A (0, 9)
      -3x + 2y = -3.0 + 2.9 = 18
-    Pada titik B (16/7, 15/7)
     -3x + 2y = -3.16/7 + 2.15/7 = -48/7 + 30/7 = -18/7
-    Pada titik C (0, 5)
     -3x + 2y = -3.0 + 2.2 = 4
Jadi, nilai maksimumnya adalah 18.
JAWABAN: C

Contoh soal 7

Dalam sistem pertidaksamaan: 2y ≥ x : y ≤ 2x; 2y + x ≤ 20; x + y ≥ 9. Nilai maksimum untuk 3y – x dicapai di titik ...

a.    P
b.    Q
c.    R
d.    S
e.    T
PEMBAHASAN
Kita cari dulu titik potong-titik potong pada soal di atas:
-    Titik P
P adalah perpotongan dari x + y = 9 dan 2y = x, maka subtitusikan saja:
2y + y = 9
3y = 9
y = 3 maka x = 2y = 6 ... titik P (6, 3)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.3 – 6 = 3
-    Titik Q
Q adalah perpotongan dari x + y = 9 dan y = 2x, maka subtitusikan saja:
x + 2x = 9
3x = 9
x =3 dan y = 2x = 6 ... titik Q(3, 6) 
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.6 – 3 = 15
-    Titik R
R adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan y = 2x, maka subtitusikan saja:
2.2x + x = 20
5x = 20
x = 4 dan y = 2x = 8 ... titik R (4, 8)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.8 – 4 = 20
-    Titik S
S adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan 2y = x, maka subtitusikan saja:
x + x = 20
2x = 20
x = 10 dan 2y = x, maka y = 5 ... titik S (10, 5)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.5 – 10 = 5
Maka, nilai maksimumnya adalah 20 di titik R
JAWABAN: C

https://www.ajarhitung.com/2017/02/contoh-soal-dan-pembahasan-tentang_7.html?m=1