Matriks merupakan susunan sekelompok bilangan didalam suatu jajaran yang berbentuk persegi panjang dan diatur berdasarkan baris dan kolom yang kemudian diletakkan antara 2 tanda kurung. Tanda kurung yang dipakai untuk mengapit susunan anggota matriks tersebut bisa berupa tanda kurung biasa atau kurung siku. Bilangan pada matriks disebut elemen atau unsur matriks.
Kumpulan elemen atau unsur yang tersusun secara horizontal disebut baris, sementara kumpulan elemen atau unsur yang tersusun secara vertikal disebut dengan kolom. Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut dengan matriks m x ndan disebut sebagai matriks yang memiliki orde m x n. Selain itu, penulisan matriks menggunakan huruf kapital dan tebal.
Dalam matematika, matriks merupakan susunan bilangan, simbol, atau disebut dengan ekspresi, yang disusun dalam baris & kolom sehingga membentuk bangun persegi. Sebagai contoh, dimensi matriks di bawah ini ialah 2 × 3, karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom.
Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :
1. Matriks Baris dan Matriks Kolom
Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:
A = (1 4) atau B = (3 7 9) adalah matriks baris
atau adalah matriks kolom
2. Matriks Persegi
Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.
Contoh:
adalah matriks persegi berordo 3, atau
adalah matriks persegi berordo 2.
3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah
Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks untuk atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks untuk atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.
Contoh:
adalah matriks segitiga atas,
adalah matriks segitiga bawah.
4. Matriks Diagonal
Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks untuk atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.
Contoh:
atau
5. Matriks Skalar
Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.
Contoh:
atau
6. Matriks Indentitas
Matriks identitas merupakan matriks diagonal yang mana seluruh elemen pada diagonal utamanya adalah 1. Matriks identitas pada umunya dinotasikan dengan I. Contoh matriks indentitas seperti berikut :
7. Matriks Simetris
Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen sama dengan elemen .
Contoh:
Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.
https://www.studiobelajar.com/matriks-dasar/
OPERASI MATRIKS
Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana (cij) = (aij)+(bij) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij) = (aij) + (bij)
Contoh:
A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan matriks B mempunyai ukuran yang berbeda
Pengurangan Matriks
Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.
Contoh:
Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij) maka matriks kA(kaij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (cij ) = (kaij ) Pada perkalian matriks dengan skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB Contoh:
Perkalian Matriks dengan Matriks
Beberapa hal yang perlu diperhatikan:
Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif
Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxn dimana
Dewi akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan tidak lebih dari 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan tidak lebih dari 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model II memperoleh untung tidak kurang dariRp. 10.000,00. Laba yang diperoleh Dewi adalah sebanyak ….
Kain polos
Kain bergaris
Model 1 (x)
1x
1,5x
Model 2 (y)
2y
0,5y
Persediaan
20
10
Buat kain polos menjadi persamaan, yaitu dengan ( model 1 + model 2 = persediaan) jadi persamaan untuk kain polos yaitu
1x + 2y = 20.......(kain polos)
Buat juga untuk kain bergaris menjadi persamaan, yaitu dengan (model 1 + model 2 = persediaan) jadi persamaan untuk kain bergaris yaitu
1,5x + 0,5y = 10.....(kain bergaris)
Untuk langkah selanjutnya, persamaan kain polos dan bergaris substitusi dan eliminasi kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai x dan y.
dari hasil eliminasi dan subtitusi tersebut dapat di simpulkan bahwa X = 4 dan Y = 8
maka cara menghitung labanya yaitu = laba = laba model 1 (x) + laba model 2 (y)
Laba = 15.000x + 10.000y
Karena nilai x dan y sudah ditemukan dengan cara substitusi dan elimanasi persamaan kainpolos dan kain bergaris. Selanjutnya tinggal memasukkan nilai x dan y kedalam Laba = 15.000x + 10.000y
Indah Putri Lestari XI IPS 2 Matematika Program Linear
Program Linear merupakan program yang digunakan sebagai metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal dan minimum) dapat diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaian persoalan linear.Di dalam persoalan linear tersebut terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear adalah merupakan sistem pertidaksamaan linear.
Model Matematika Program Linear
Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:
Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
Masing-masing model harus terbuat.
Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:
Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y
Syarat:
200x + 180y ≤ 72.000
150x + 170y ≤ 64.000
x ≥ 0
y ≥ 0
Nilai Optimum Fungsi Objektif
Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.
Menggunakan Garis Selidik
Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah
ax + by = Z
Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:
Cara 1 (syarat a > 0)
Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.
Cara 2 (syarat b > 0)
Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.
Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.
Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim
Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.
Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.
Langkah-langkah Program Linear
Berikut ini merupakan langkah-langkah dalam melakukan optimasi menggunakan teknik program linear.
Tentukan variabel-variabel kendalanya
Tentukan fungsi tujuan
Susun model dari variabel-variabel kendala
Gambarkan grafik dari model yang telah dibuat
Tentukan titik-titik potong dari grafik
Tentukan daerah penyelesaian yang sesuai
Hitung nilai optimum dari fungsi tujuan
Contoh Soal dan Pembahasan Program Linear
Contoh Soal 1
Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.
Pembahasan 1:
Langkah 1 menggambar grafiknya
Langkah 2 menentukan titik ekstrim
Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.
Lankah 3 menyelidiki nilai optimum
Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.
Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18
Contoh Soal 2
Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!
Pembahasan 2:
Titik ekstrim pada gambar adalah:
A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
B(3, 6)
C(8, 2)
D(8, 0)
Nilai tiap titik ekstrim adalah:
Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.
Contoh Soal 3
Biaya produksi satu buah payung jenis A adalah Rp20.000,00 per buah, sedangkan biaya satu buah produksi payung jenis B adalah Rp30.000,00. Seorang pengusaha akan membuat payung A dengan jumlah tidak kurang dari 40 buah. Sedangkan banyaknya payung jenis B yang akan diproduksi minimal adalah dari 50 buah. Jumlah maksimal produksi kedua payung tersebut adalah 100 buah. Biaya minimum yang dikeluarkan untuk melakukan produksi kedua payung sesuai ketentuan tersebut adalah ….
A. Rp2.000.000,00 B. Rp2.300.000,00 C. Rp2.200.000,00 D. Rp2.100.000,00 E. Rp2.000.000,00
Pembahasan:
Pemisalan:
x = banyak payung A
y = banyak payung B
Model matematika dari permasalahan tersebut adalah:
Fungsi tujuan: meminimumkan f(x,y) = 20.000x + 30.000y
Fungsi kendala:
x ≥ 40
y ≥ 50
x + y ≤ 100
Daerah penyelesaian yang memenuhi permasalahan:
Nilai minimum akan diperoleh melalui titik koordinat yang dilalui garis selidik yang pertama kali, yaitu titik A(40, 50).
Luas daerah parkir 360 m2. Luas rata-rata sebuah mobil 6 m2 dan luas rata – rata bus 24 m2. Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda empat (mobil dan bus). Jika tarif parkir mobil Rp2.000,00 dan tarif parkir bus Rp5.000,00 maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah …
A. Rp40.000,00 B. Rp50.000,00 C. Rp60.000,00 D. Rp75.000,00 E. Rp90.000,00
Pembahasan:
Misalkan:
x = banyak mobil
y = banyak bus
Perhatikan tabel di bawah!
Diperoleh dua persamaan:
x + y ≤ 30
6x + 24y ≤ 360 → x + 4y ≤ 60
Menentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan:
Akan ditentukan nilai maksimum dengan metode titik sudut.
Titik koordinat O, A, dan C dapat diperoleh dengan melihat gambar, yaitu O(0,0), A(0, 15), dan C(30,0). Untuk koordinat B dapat diperoleh dengan menggunakan eliminasi dan substitusi.
Substitusi nilai y = 10 pada persamaan x + y = 30 untuk mendapatkan nilai x.
x + y = 30 x + 10 = 30 x = 30 – 10 = 20
Koordinat titik B adalah (20, 10)
Perhitungan keuntungan maksimal yang dapat diperoleh:
